Enter a word or phrase in any language 👆
Language:
Translation and analysis of words by ChatGPT artificial intelligence
On this page you can get a detailed analysis of a word or phrase, produced by the best artificial intelligence technology to date:
- how the word is used
- frequency of use
- it is used more often in oral or written speech
- word translation options
- usage examples (several phrases with translation)
- etymology
What (who) is Математическое программирование - definition
ВЫБОР НАИЛУЧШЕГО РЕШЕНИЯ; ЗАДАЧА НАХОЖДЕНИЯ ЭКСТРЕМУМА ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ В НЕКОТОРОЙ ОБЛАСТИ КОНЕЧНОМЕРНОГО ВЕКТОРА
Математическое программирование; Теория оптимизации; Программирование математическое; Задача оптимизации; Методы оптимизации; Задача условной оптимизации; Задача безусловной оптимизации; Математическая оптимизация
![Функции оптимизации]]. Симплексные вершины упорядочиваются по их значению, при этом 1 имеет наименьшее (лучшее) значение.](https://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/Nelder-Mead Simionescu.gif?width=200 "Функции оптимизации]]. Симплексные вершины упорядочиваются по их значению, при этом 1 имеет наименьшее (лучшее) значение.")
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
раздел математики, посвященный теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых некоторыми ограничениями (равенствами или неравенствами). Если изучаемая функция линейна (1-й степени) и задана на множестве, заданном линейными равенствами и неравенствами, то соответствующий раздел математического программирования называется линейным программированием. Математическое программирование называется также оптимальным программированием. Следует отличать от программирования на ЭВМ.
Математическое программирование
математическая дисциплина, посвященная теории и методам решения задач о нахождении экстремумов функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами).
М. п. - раздел науки об исследовании операций (см. Операций исследование), охватывающий широкий класс задач управления, математическими моделями которых являются конечномерные экстремальные задачи. Задачи М. п. находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий, например, при решении многочисленных проблем управления и планирования производственных процессов, в задачах проектирования и перспективного планирования.
Наименование "М. п." связано с тем, что целью решения задач является выбор программы действий.
Математическая формулировка задачи М. п.: минимизировать скалярную функцию φ(x) векторного аргумента х на множестве
X = {x: gi(x) ≥ 0, hi(x) = 0, I = 1, 2, ..., k},
где gi(x) и hi(x) - также скалярные функции; функцию φ(x) называют целевой функцией, или функцией цели, множество X - допустимым множеством, решение х* задачи М. п. - оптимальной точкой (вектором).
В М. п. принято выделять следующие разделы. Линейное программирование: целевая функция φ(x) и ограничения gi(x) и hi (х) линейны; выпуклое программирование: целевая функция и допустимое множество выпуклы; квадратичное программирование: целевая функция квадратична и выпукла, допустимое множество определяется линейными равенствами и неравенствами; дискретное программирование: решение ищется лишь в дискретных, например целочисленных, точках множества X; стохастическое программирование: в отличие от детерминированных задач, здесь входная информация носит элементы неопределённости; например, в стохастических задачах о минимизации линейной функции
при линейных ограничениях
, i = 1, 2, ..., m,
либо все величины cj, aij, bi, либо часть из них случайны.
Задачи перечисленных разделов обладают общим свойством: всякая точка локального минимума является оптимальной точкой. Несколько в стороне находятся так называемые многоэкстремальные задачи - задачи, для которых указанное свойство не выполняется.
В основе теории выпуклого программирования и, в частности, линейного и квадратичного, лежит теорема Куна - Таккера о необходимых и достаточных условиях существования оптимальной точки x*: для того чтобы точка х* была оптимальной, то есть
X = {x: gi(x) ≥ 0, i = 1, 2, ..., k},
необходимо и достаточно, чтобы существовала такая точка у* = (у*1, у*2, ..., у*k), чтобы пара точек х*, у* образовывала седло функции Лагранжа
Последнее означает, что
L(x*, y) ≤ L(x*, y*) ≤ L(x, у*)
для любых х и всех у ≥ 0. Если ограничения gi(x) нелинейны, то теорема справедлива при некоторых дополнительных предположениях о допустимом множестве.
Если функции φ(x) и gi(x) дифференцируемы, то следующие соотношения определяют седловую точку
Таким образом, задача выпуклого программирования сводится к решению системы уравнений и неравенств.
На основе теоремы Куна - Таккера разработаны различные итерационные методы минимизации, сводящиеся к поиску седловой точки функции Лагранжа.
В М. п. одно из главных мест принадлежит вычислительным методам решения экстремальных задач. Широким классом таких методов являются методы проектирования. Идея этих методов состоит в следующем. В точке xk ∈ X выбирается направление спуска sk, то есть одно из направлений, по которому функция φ(x) убывает, и вычисляется xk+1 = p(xk + αksk), где p(xk + αksk) означает проекцию точки xk + αksk на множество X:
число αk > 0 выбирается при этом так, чтобы φ(xk +1) < φ(xk). Существуют различные варианты методов проектирования. Наиболее распространённым из них является метод проекции градиента, когда sk = -grad φ(xk). В М. п. доказано, что при определённых условиях на целевую функцию и допустимое множество, последовательность {хk}, построенная методом проекции градиента, такова, что 
стремится к нулю со скоростью геометрической прогрессии.
Характерной особенностью вычислительной стороны методов решений задач М. п. является то, что применение этих методов неразрывно связано с использованием электронных вычислительных машин, в первую очередь потому, что задачи М. п., связанные с ситуациями управления реальными системами, являются задачами большого объёма, недоступными для ручного счёта.
Важным направлением исследования в М. п. являются проблемы устойчивости. Здесь существ. значение имеет изучение класса устойчивых задач - задач, для которых малые возмущения (погрешности) в исходной информации влекут за собой малые возмущения и в решении. В случае неустойчивых задач большая роль отводится процедуре аппроксимации неустойчивой задачи последовательностью устойчивых задач - так называемому процессу регуляризации.
М. п. как наука сформировалось в 50-70-х годах 20 века. Это обусловлено главным образом развитием электронных вычислительных машин, а следовательно, с возможностью проводить математическую обработку больших потоков информации, и на этой основе решать задачи управления и планирования, где применение математических методов связано в первую очередь с построением математических моделей и соответствующих им экстремальных задач, в том числе задач М. п.
Лит.: Зуховицкий С. И., Авдеева Л. И., Линейное и выпуклое программирование, 2 изд., М., 1967; Хедли Дж., Нелинейное и динамическое программирование, перевод с английского, М., 1967.
В. Г. Карманов.
Программирование математическое
математическая дисциплина, посвящённая решению экстремальных задач определённого типа. См. Математическое программирование.
Wikipedia
Оптимизация (математика)
Оптимизация (в математике, информатике и исследовании операций) — это задача нахождения экстремума (минимума или максимума) целевой функции в некоторой области конечномерного векторного пространства, ограниченной набором линейных и/или нелинейных равенств и/или неравенств.
Теорию и методы решения задачи оптимизации изучает математическое программирование.
Математическое программирование — это область математики, разрабатывающая теорию, численные методы решения многомерных задач оптимизации с ограничениями.
